LA REGLE ET LE COMPAS : en architecture, en géométrie et en art

Le site TECHNO-SCIENCE.NET,  relatif aux dernières news technologiques et scientifiques, a un dossier « Construction à la règle et au compas »

Introduction

Euclide a fondé sa géométrie sur un système d’axiomes qui assure en particulier qu’il est toujours possible de tracer une droite passant par deux points donnés et qu’il est toujours possible de tracer un cercle de centre donné et passant par un point donné. La géométrie euclidienne est donc la géométrie des droites et des cercles, donc de la règle et du compas. L’intuition d’Euclide était que tout nombre pouvait être construit, ou « obtenu », à l’aide de ces deux instruments.

Cette conjecture va d’une part remettre en question la définition d’un nombre : les nombres rationnels ne suffisent pas à exprimer toutes les longueurs puisque la diagonale d’un carré de côté 1 est constructible, mais correspond au nombre √2 dont on démontre facilement qu’il ne saurait être le rapport de deux entiers, d’autre part engager la communauté mathématique dans la recherche de résolutions impossibles, comme la quadrature du cercle, la trisection de l’angle et la duplication du cube. La recherche des nombres constructibles et des polygones constructibles débouchera, après le développement de l’algèbre et de la théorie de Galois, sur le théorème de Gauss-Wantzel sur les polygones constructibles et sur le théorème de Wantzel pour les nombres constructibles.

Georg Mohr (1672) puis Lorenzo Mascheroni (1797) prouveront que toute construction à la règle et au compas peut se réaliser au compas seul.

Introduction
La règle et le compas en architecture
La règle et le compas en géométrie
La règle et le compas en art

La règle et le compas en architecture

Les liens qui unissent les constructions à la règle et au compas avec l’architecture sont très étroits :

La géométrie offre plusieurs ressources à l’architecte : elle le familiarise avec la règle et le compas, qui lui servent surtout à déterminer l’emplacement des édifices. (Vitruve)

Au Moyen-Âge, le maître architecte est celui qui possède le savoir de la géométrie, il discute sur un pied d’égalité avec les dirigeants religieux. Dans une société où peu savent lire, le plan, construit à la règle et au compas, est le seul moyen de communication simple entre l’architecte et les ouvriers. Se pose cependant le problème de l’échelle puisque les unités de longueur ne sont pas complètement normalisées. Sur le terrain s’active alors, avec son compas, le parlier ou maître de chantier qui fait le lien entre l’architecte et les ouvriers. Ceux-ci utilisent pour leur construction, un compas et une règle, mais aussi, quand la taille des mesures est trop importante, le cordeau qui remplace indifféremment la règle (trait tiré au cordeau) et le compas. Associés à l’équerre, la règle et le compas deviennent alors le symbole de l’Architecte, maître architecte des cathédrales ou Architecte du monde. Ainsi les retrouve-t-on dans l’emblème de la franc-maçonnerie.